Title: Lección MCD y mcm
Course: Matemática - 1º C.B. > Section: 12 - MCD y mcm

Divisores

Para comenzar, trabajaremos con la noción de divisores comunes a dos naturales.

Todos los divisores de un número

Analicemos el siguiente problema:

Tenemos 12 figuritas que queremos guardarlas en sobres. Se sabe que todos los sobres tienen exactamente la misma cantidad de figuritas. Analizar todas las formas que tenemos de armar los sobres.

Primera solución:  12 sobres con una sola figurita

Segunda solución:  6 sobres con 2 figuritas

Tercera solución:  4 sobres con 3 figuritas

Cuarta solución:  3 sobres con 4 figuritas

Quinta solución:  2 sobres con 6 figuritas

Sexta solución:  1 sobre con 12 figuritas

Observa que todas las soluciones (1, 2, 3, 4, 6, 12) son todos los divisores de 12.

Ejercicio:

Indica cuáles son todos los divisores de 18

- 1, 2, 3, 6, 9, 18
- 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18
Feedback: mmm... revisa que te está sobrando alguno.
- 1, 18
Feedback: Revisa que te están faltando varios.

Divisores comunes a dos números naturales

Divisores comunes a dos números naturales:

Busquemos los divisores comunes a 8 y a 12:

Observamos que los divisores comunes son:  1  -  2  -  4

Pregunta: ¿Puede haber una cantidad infinita de divisores comunes a dos naturales distintos de 0?

Respuesta: No, siempre es una cantidad finita.

Ejercicio:

- ¡¡Muy bien!! ¡Adelante!
- No es correcto...debes revisar
- divisor común a 25 y 15
Feedback: 5
- divisor común a 16 y 12
Feedback: 4
- todos los divisores comunes a 6 y 8
Feedback: 1 y 2
- todos los divisores comunea a 6 y 18
Feedback: 1, 2, 3 y 6

Situación para pensar

Analicemos el siguiente problema:

Martín, que trabaja en su barrio, cada cuatro días tiene que regarle las plantas a su vecina Gladis y cada seis días tiene que pasearle el perro a su vecino Ramón. Lo que más le molesta es que, de vez en cuando, le tocan ambos trabajos en la misma jornada. ¿Cada cuánto tiempo ocurre eso?

Nota: Intenta resolverlo antes de continuar

Múltiplos comunes a dos números naturales

Resolvamos el problema de Martín.

- Resolución gráfica:

Vemos que ambos trabajos coinciden los días 12, 24, ....

- Resolución numérica:

Observamos que riega los días que son múltiplos de 4 y pasea el perro los días que son múltiplos de 6. De esta forma, los trabajos coincidirán en los días que son múltiplos comunes a 4 y 6 (que no sean 0 ya que no tiene sentido tener un día 0)

Solución: Los trabajos coinciden cada 12 días

Pregunta: ¿Cuántos múltiplos comunes hay a dos naturales distintos de cero?

Respuesta: Infinitos

Ejercicio:

- ¡¡Muy bien!!
- No es correcto...debes revisar
- 8 es múltiplo común a
Feedback: 4 y 2
- 54 es múltiplo común a
Feedback: 6 y 18
- 25 es múltiplo común a
Feedback: 5 y 25
- 55 es múltiplo común a
Feedback: 5 y 11

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Repasemos algunas ideas trabajadas en la lección anterior:

1)   Los divisores comunes a dos números naturales se pueden identificar comparando los elementos de los conjuntos de divisores de cada uno de ellos. Los números que pertenecen a ambos conjuntos son los divisores comunes.

2)   Sólo hay un número finito de divisores comunes a dos números naturales

3)   Los múltiplos comunes a dos números naturales se pueden identificar comparando los elementos de los conjuntos de múltiplos de cada uno de ellos. Los números que pertenecen a ambos conjuntos son los múltiplos comunes.

4)   Dos naturales distintos de cero tienen infinitos múltiplos en común

Definición: al mayor de los divisores comunes se le llama Máximo Común Divisor, y lo anotaremos con la sigla MCD.

Definición: al menor de los múltiplos comunes distinto de cero se le llama mínimo común múltiplo , y lo anotaremos con la sigla mcm.

1) Calcula el máximo común divisor de 12 y 32

MCD(12,32)=

Resolución:

Consideramos el conjunto de divisores de cada número:

D_12={1,2,3,4,6,12}

D_32={1,2,4,8,16,32}

Los divisores comunes a 12 y 32 son el 1, 2 y 4. Entonces 4 es el máximo común divisor.

2) Calcula el mínimo común múltiplo de 6 y 9.

mcm(6,9)=

Resolución:

Consideramos el conjunto de los múltiplos de cada número:

M_6={0,6,12,18,24,30,36,......}

M_9={0,9,18,27,36,45,54,......}

Los múltiplos comunes son 0, 18, 36, ......Por lo tanto 18 es el mínimo común múltiplo de 6 y 9.

Ejercicio:

- ¡¡Muy bien!!
- No es correcto...debes revisar
- El MCD de 8 y 12 es
Feedback: 4
- El MCD de 5 y 14 es
Feedback: 1
- El mcm de 4 y 3 es
Feedback: 12
- El mcm de 24 y 12 es
Feedback: 24

mcm y MCD

Mira estos videos que plantean un resumen de mcm y MCD y una aplicación para cada uno.

Primer video... te aconsejamos mirarlo hasta el punto 2:55 minutos. (luego plantea la descomposición en factores primos, que si quieres puedes investigar)

https://www.youtube.com/watch?v=VNEu5Xj8hV8

Segundo video... te aconsejamos mirarlo hasta el momento 7:50 minutos. (es el mismo, pero desde un punto más adelante, luego desarrolla el método desde la descomposición en factores primos, que puedes investigar también!)

https://youtu.be/VNEu5Xj8hV8?t=6m16s