Title: 1 - Lección: Suma y resta de Enteros
Course: Matemática - 1º C.B. > Section: 4 - Adición y Sustracción en Z

Repasemos lo básico

Repasemos

En el módulo Números Enteros trabajamos algunos conceptos que vamos a recordar brevemente, si no los recuerdas bien, puedes ir a ese módulo y repasarlo.

- El conjunto de los NÚMEROS ENTEROS está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.

            ... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

- El Valor Absoluto de un número distinto de 0, es el natural que se obtiene prescindiendo del signo. El valor absoluto de 0, es 0.

             |-9|=9             |12|=12                 |0|=0

- El opuesto de un número tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo

            El opuesto de 2 es -2          El opuesto de -15 es 15

Introducción a la adición

¡Vamos ahora a sumar enteros!

Muchas sumas de enteros ya las sabes hacer, por ejemplo:

8+3=11

¿Pero qué pasa si queremos sumar -4 + 5 = ?

Analicemos ahora algunas situaciones que nos permitan aprender a hacerlo.

Juan va al almacén que está cerca de su casa, a comprar un refresco. Lleva 50 pesos, pero resulta que el refresco cuesta 54 pesos. Como el almacenero lo conoce de todos los días, le dice que luego le paga el resto.

Entonces:

El refresco cuesta 54 pesos

Juan paga 50

Queda debiendo 4 pesos.

Esa deuda se puede representar como -4.

Más tarde ese día Juan lleva 5 pesos al almacén para pagar su deuda, pero el almacenero no tenía cambio.

Entonces le va a quedar 1 peso a favor para la próxima compra.

Observa la libreta del almacén

Entonces podemos plantear

-4+5=+1

________________________________________

Considera ahora la siguiente situación:

Si en vez de llevar 5 pesos para pagar la deuda, Juan hubiera llevado 2 pesos.

¿Cuál sería el resultado en la libreta del almacenero?

En números lo podemos plantear:

-4+2=

- -2 (Queda debiendo 2 pesos)
- +2 (Queda con 2 pesos a favor)
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Adición en Z (Igual signo)

Ahora vamos a sumar enteros

Para sumar enteros podemos reconocer dos casos, cuando tienen igual signo y cuando tienen distinto signo.

Veamos el caso cuando sumamos números de igual signo

(-2)+(-5)=  -7                (+8) + (+3)= +11

Veamos el primer ejemplo con ayuda de la recta numérica

Para sumar (-2)+(-5), primero damos un salto de (-2) y luego un salto de (-5)

En total llegamos al -7.

Podemos generalizar que para sumar números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos y se mantiene el signo.

Por ejemplo: (-4)+(-7)=-11

El valor absoluto de (-4) es 4

El valor absoluto de (-7) es 7

4+7=11, pero como sumamos números negativos

al resultado le colocamos el signo negativo, por eso es -11.

Mira otros ejemplos:

(-2)+(-12)=-14

(-5)+(-3)=-8

(+95)+(+1)=+96

(+8)+(+3)=+11

Calcula la siguiente operación para continuar

(-7)+(-6)=

- -13
- 13
Feedback: ¡Revisa lo que hablamos!
- 1
Feedback: ¡Revisa lo que hablamos!
- -1
Feedback: ¡Revisa lo que hablamos!

Adición en Z (distinto signo)

El segundo caso es cuando los sumandos tienen distinto signo

Por ejemplo:

(-5)+(+2)= -3

En la recta numérica podemos plantearlo así:

Damos un salto de (-5) luego un salto de (+2) y llegamos a (-3).

Podemos generalizar que para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos y se coloca el signo del que tiene mayor valor absoluto.

Por ejemplo: (-8)+(+3)=-5

El valor absoluto de (-8) es 8

El valor absoluto de (+3) es 3

8-3=5 como el valor absoluto de -8 es mayor, colocamos su signo, es decir el (-)

por eso el resultado es -5.

Mira otros ejemplos:

(-2)+(+10)=+8

(+8)+(-9)=-1

(+91)+(-1)=+90

(-7)+(+4)=-3

Calcula la siguiente operación para continuar

(-12)+(+6)=

- -6
- 6
Feedback: ¡Revisa lo que hablamos!
- 18
Feedback: ¡Revisa lo que hablamos!
- -18
Feedback: ¡Revisa lo que hablamos!

Propiedades de la adición

Propiedades de la adición en Z

Al igual que planteamos en el módulo "Operaciones en Naturales", la adición en números enteros cumple ciertas propiedades.

Veamos algunas de ellas:

Por ejemplo:

¿Cuánto es (-4)+ (-2)= ?

¿y cuánto es (-2)+(-4)= ?

 Si calculaste, habrás descubierto que ambas operaciones dan como resultado -6.

La propiedad que se aplica se llama conmutativa y se generaliza de esta forma:

si a y b son números enteros, se cumple que a+b=b+a

_______________________________

Observa ahora estas dos operaciones:

En este caso se está observando la propiedad asociativa y se generaliza de esta forma:

si a, b y c son números enteros, se cumple que (a+b)+c=a+(b+c)

(Es media difícil de observar, pero es muy importante para resolver problemas. No te preocupes si no la entiendes, más adelante la retomaremos)

_______________________________________

Analicemos ahora el neutro de la adición:

Observa: (+5)+0=+5          0+(-3)=-3              (-6)+0=-6

Por lo tanto se generaliza que si a es un número entero, a+0=0+a=a

__________________________________________________________

Por último repasemos qué pasa con la existencia del opuesto de un número entero.

Si a es un número entero, entonces existe (-a) tal que a+(-a)=0

-a se llama "opuesto de a"

De esta propiedad es que hablamos cuando planteamos por ejemplo que -2+2=0

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En el siguiente planteo... ¿qué propiedad estoy utilizando?

(+15)+(-15)=0

- Existencia de Opuesto
- Neutro de la adición
Feedback: mmm... casi!!... se usa el neutro, pero no es la propiedad que se utiliza en ese planteo.

Practiquemos

Antes de continuar, vamos a practicar la suma de enteros.

- (-5)+(-3)=
Feedback: -8
- (+8)+0=
Feedback: +8
- (+9)+(-17)=
Feedback: -8

Sustracción en Z

Sustracción en Z

Vamos ahora a aprender a restar números enteros.

Para ello vamos a plantear lo siguiente:

si a y b son números enteros, calcular a-b, es lo mismo que calcular a+(-b)

Es decir, sumamos el opuesto de b.

Veamos ejemplos:

Como ves en el ejemplo, transformamos la resta en una suma como las que aprendimos en las primeras páginas de esta lección.

Se cambia el restar (+9) por sumar el (-9)

Por lo tanto: (-6)-(+9)=(-6)+(-9)=-15

Observa otros casos:

Calcula esta operación:

(-9)-(-10)=

- +1
- -1
Feedback: mmm... Revisa otra vez
- -19
Feedback: mmm... Revisa otra vez
- +19
Feedback: mmm... Revisa otra vez

Resumiendo

Vamos a resumir

¡Bueno!

Aprendimos muchas cosas en este módulo y a veces puede parecer complicado.

Entonces vamos a resumir algunas cosas y plantear algunas otras para ayudarte a resolver las operaciones.

- Cuando sumamos enteros tenemos que tener en cuenta los signos.
- Cuando restamos, se cambia el signo del sustraendo y luego se suma.

Además para que la notación de las operaciones no sea muy complicada podemos simplificar algunas cosas.

Por ejemplo, observa esta operación:

Se puede simplificar muchos de los signos y paréntesis.

- Primer caso: Cuando el primer sumando es positivo se puede omitir su signo y escribirlo solo. Es el caso del (+9) y 9
- Segundo caso: Una resta puede cambiarse por la suma del opuesto, por eso -(+6) = +(-6)=-6
- Tercer caso: Al sumar un número negativo puede quitarse el signo de + y los paréntesis, +(-8)=-8

De esta forma la operación queda simplificada.

Ahora analiza la siguiente operación e indica cuál será la operación simplificada correcta

(-8)+(-6)-(-2)=

- -8-6+2=
- -8+6-2=
Feedback: Revisa cada caso de lo planteado (tienes 2 errores)
- -8-6-2=
Feedback: Revisa cada caso de lo planteado (tienes 1 error)
- -8+6+2=
Feedback: Revisa cada caso de lo planteado (tienes 1 error)